Question

如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__．

Answer

3≤AP<4

【解析】

分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．

如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，

此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，

此时，△CPG∽△CBA，

当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，

∴CP=1，AP=3，

∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．

故答案是：3≤AP＜4．