Question

如图，正方形ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，

（1）求证：△ABF∽△ACE；

（2）求tan∠BAE的值；

（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝﹣1；（3）PE+PF的最小值为．

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；
（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题；
（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，

∴△ABF∽△ACE．

（2）【解析】
如图1中，作EH⊥AC于H．

∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，

∴BE＝EB，

∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，

∴∠HCE＝∠HEC＝45°，

∴HC＝EH，

∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC＝x，

∵BC＝+1，

∴x+x＝+1，

∴x＝1，

在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，

∴tan∠EAB＝﹣1．

（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小．

作EM⊥BD于M．BM＝EM＝，

∵AC＝＝2+，

∴OA＝OC＝OB＝AC＝ ，

∴OH＝OF＝OA•tan∠OAF＝OA•tan∠EAB＝ •（﹣1）＝，

∴HM＝OH+OM＝，

在Rt△EHM中，EH＝ ＝．．

∴PE+PF的最小值为．．