Question

在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；

（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）二次函数的表达式为：；（2）4；（3）或.

【解析】

（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，设，则.用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可.

（1）直线，当时，；当时，，

∴，.

∵二次函数的图象经过，两点，

∴解得

∴二次函数的表达式为：.

（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，

依题意设，则.

其中，

∴，

∴

，

，

，

，

，

.

∵，∴抛物线开口向下．

又∵，

∴当时，有最大值， ；

（3）或

在轴上取点，使，则.

过点作∥交延长线于点，过点作轴于点，

设点的坐标为，则，

.

在中，，解得.∴.

当时，

∴.

∴.

易证∽.

∴.

∴,.

∴.

∵，

∴直线的函数表达式为：.

由，解得：，（舍）.

∴点的横坐标为2.

②当时，方法同①，可确定点的横坐标为.