Question

如图1，已知直线l₁∥l₂  ， 且l₁、l₂分别相交于A、B两点，l₄和l₁、l₂分别交于C、D两点，∠ACP=∠1，∠BDP=∠2，∠CPD=∠3．点P在线段AB上．

 

（1）若∠1=22°，∠2=33°，则∠3=________．   

（2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由．   

（3）应用（2）中的结论解答下列问题：  如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数．   

（4）如果点P在直线l₃上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可．

Answer

（1）55°；（2）∠1+∠2=∠3；（3）85°；（4）∠CPD=|∠1﹣∠2|.

【解析】

试题（1）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；

（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；

（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，根据平行线的性质即可求解；

（4）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可．

试题解析：解：（1）∠1+∠2=∠3．

∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°．在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，∴∠3=∠1+∠2=55°．故答案为：55°；

（2）∠1+∠2=∠3．理由如下：

∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°．在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，∴∠1+∠2=∠3；

（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，则∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；

（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，∴∠1=∠FPC．

∵l1∥l4，∴PF∥l2，∴∠2=∠FPD．

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC，∴∠CPD=∠2﹣∠1．

当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，∴∠2=∠GPD．

∵l1∥l2，∴PG∥l1，∴∠1=∠CPG．

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD，∴∠CPD=∠1﹣∠2．

综上所述：∠CPD=|∠1﹣∠2|．