Question

反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴，交y=的图象于点A，PD⊥y轴，交y=的图象于点B．当点P在y=的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不会发生变化；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（　　）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】

①由点A、B均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA，结论①正确；③利用分割图形求面积法即可得出S四边形PAOB=k-1，结论③正确；②设点P的坐标为，则点B的坐标，点A，求出PA、PB的长度，由此可得出PA与PB的关系无法确定，结论②错误；④设点P的坐标为，则点B的坐标，点A，由点A是PC的中点可得出k=2，将其带入点P、B的坐标即可得出点B是PD的中点，结论④正确．此题得解．

【解析】
①∵点A、B均在反比例函数的图象上，且BD⊥y轴，AC⊥x轴，

∴

∴S△ODB=S△OCA，结论①正确；

②设点P的坐标为，则点B的坐标，点A，

∴

∴PA与PB的关系无法确定，结论②错误；

③∵点P在反比例函数的图象上，且PC⊥x轴，PD⊥y轴，

∴S矩形OCPD=k，

∴S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=k-1，结论③正确；

④设点P的坐标为，则点B的坐标，点A，

∵点A是PC的中点，

∴k=2，

∴P，B，

∴点B是PD的中点，结论④正确．

故选：D．