Question

如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．

（1）求证：PC是⊙O的切线．

（2）求tan∠CAB的值．

Answer

（1）见解析；（2）tan∠CAB=.

【解析】

（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠ACB=．

（1）如图，连接OC、BC，

∵⊙O的半径为3，PB=2,

∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5,

∵PC=4,

∴OC2+PC2=OP2，

∴△OCP是直角三角形，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线．

（2）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∵OC⊥PC，

∴∠BCP+∠OCB=90°，

∴∠BCP=∠ACO.

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠A=∠BCP.

在△PBC和△PCA中：

∠BCP=∠A，∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCA，

∴===

∴tan∠CAB==