Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G是上一点，连结AG，CG．

（1）在不添加辅助线的前提下直接写出图中与∠AGC相等的角，不用证明；

（2）求证：当AB∥DG时，△ACG与△EAC相似；

（3）若OE＝BE，求∠AGC的度数．

Answer

（1）；（2）答案见解析；（3）60°．

【解析】

试题（1）结论：∠ACE=∠AGC．首先证明AB垂直平分CD，推出AC=AD，∠ACD=∠ADC，因为∠AGC=∠ADC，由此即可证明．

（2）如图2中，由DG∥AB，推出∠AEC=∠CDG=90°，推出CG是直径，推出∠CAG=90°，由此即可证明．

（3）如图3中，连接OC、BC．只要证明△OBC是等边三角形即可解决问题．

试题解析：【解析】
（）结论：∠ACE=∠AGC．理由如下：

如图1中，连接AD．

∵AB是直径，AB⊥CD，∴EC=ED，∴AD=AC，∴∠ACE=∠ADC．

∵∠AGC=∠ADC，∴∠ACE=∠AGC．

（）证明：∵，

∴，

∴也是直径，

∴，，

∴．

（）如图，连接，．

∵，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴．