Question

结果如此巧合!

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．

【解析】
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．

根据勾股定理，得（x+3）²+（x+4）²=（3+4）²．

整理，得x²+7x=12．

所以S_△ABC=AC•BC

=（x+3）（x+4）

=（x²+7x+12）

=×（12+12）

=12．

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．

可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．

倒过来思考呢？

（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=mn；

【解析】

（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.

设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，

根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，

（1）如图1，

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，

整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，

所以S△ABC＝AC•BC

＝（x＋m）（x＋n）

＝ [x2＋（m＋n）x＋mn]

＝（mn＋mn）

＝mn;

（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，

整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，

∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2

＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2

＝2mn＋m2＋n2

＝（m＋n）2

＝AB2，

根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；

（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，

在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），

∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），

在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，

整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，

∴S△ABC＝BC•AG

＝×（x＋n）•（x＋m）

＝ [x2＋（m＋n）x＋mn]

＝×（3mn＋mn）

＝mn．