Question

如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．

（1）当AE＝8时，求EF的长；

（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer

（1）4；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6时，y有最大值为9；（3）S=

【解析】

(1)由EF∥BC,可得,由此即可解决问题;

(2)①先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围,根据30度的直角三角形的性质求出EF和AF的长,在在Rt△ACB中,根据三角函数求出AC的长,计算FC的长,利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式;

②把二次函数的关系式配方可以得结论;

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

【解析】
（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∴BC=AB=6，AC=BC=6，

∵四边形EFPQ是矩形，

∴EF∥BC，

∴=，

∴=，

∴EF=4．

（2）①∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合，

∴0＜x＜12，

∵四边形CDEF是矩形，

∴EF∥BC，∠CFE=90°，

∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

∴EF=x，

AF=cos30°•AE=x，

在Rt△ACB中，AB=12，

∴cos30°=，

∴AC=12×=6，

∴FC=AC﹣AF=6﹣x，

∴y=FC•EF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（0＜x＜12）；

②y=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9，

当x=6时，S有最大值为9；

（3）①当0≤t＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN，

S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9．

②当3≤t≤6时，重叠部分是△PBN，

S=（6﹣t）2，

综上所述，S=