Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．

（1）证明：AF=CE；

（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.

【解析】试题（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；

（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．

试题解析：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，

∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：

∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，

又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．