Question

如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）必过中点这个点，理由见解析.

【解析】

试题（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）直线EG经过正方形ABCD的中心， 连接BD交EG于点O，易证△EOB≌△GOD．可得BO=DO即点O为BD的中点．所以直线EG经过正方形ABCD的中心．

试题解析：

（）∵四边形是正方形．

∴，．

∵．

∴．

∴≌≌≌．

∴，．

∴四边形是菱形．

∵，．

∴．

∴．

∵四边形是菱形，．

∴四边形是正方形．

（）直线经过正方形的中心，理由如下：

连接交于点．

∵四边形是正方形．

∴．

∴．

∵，，．

∴≌．

∴，即点为的中点．

∴直线经过正方形的中心．