Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．

Answer

(1)证明见解析；(2) EF＝.

【解析】

（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；

（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．

(1)证明：∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形．

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，

∴BE＝EC＝AE.

∴四边形AECD是菱形．

(2)【解析】
如图，过点A作AH⊥BC于点H.

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理得AC＝8.

再根据面积关系，有S△ABC＝BC·AH＝AB·AC，

∴AH＝.

∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，

∴CD＝CE＝5.

∵S菱形AECD＝CD·EF＝CE·AH，

∴EF＝AH＝.