Question

如图，直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴、y轴分别交于点B，A，直线y＝－2x＋1与y轴交于点C，与直线y＝kx＋4交于点D，△ACD的面积是.

(1)求直线AB的表达式；

(2)设点E在直线AB上，当△ACE是直角三角形时，请直接写出点E的坐标．

Answer

(1)直线AB的表达式为y＝x＋4；(2)当△ACE是直角三角形时，点E的坐标为(－3，1)或(－，).

【解析】

(1)将=0分别代入两个一次函数表达式中求出点A、C的坐标,进而即可得出AC的长度,再根据三角形的面积公式结合△ACD的面积即可求出点D的横坐标,利用一次函数图象上点的坐标特即可求出点D的坐标,由点D的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的表达式;

(2)由直线AB的表达式即可得出△ACE为等腰直角三角形,分∠ACE=90和∠AEC=90两种情况考虑,根据点A、C的坐标利用等腰直角三角形的性质即可得出点E的坐标,此题得解.

(1)当x＝0时，y＝kx＋4＝4，y＝－2x＋1＝1，

∴A(0，4)，C(0，1)，

∴AC＝3.

∵S△ACD＝AC·(－xD)＝－xD＝，

∴xD＝－1.

当x＝－1时，y＝－2x＋1＝3，

∴D(－1，3).

将D(－1，3)代入y＝kx＋4，得－k＋4＝3，

解得k＝1，

∴直线AB的表达式为y＝x＋4.

(2)∵直线AB的表达式为y＝x＋4，

∴△ACE为等腰直角三角形.

如图，当∠ACE＝90°时，

∵A(0，4)，C(0，1)，AC＝3，

∴CE1＝3，E1的横坐标为－3.

将x＝－3代入y＝x＋4中，得y＝1，

∴E1(－3，1)；

当∠AE2C＝90°时，

∵A(0，4)，C(0，1)，AC＝3，

过点E2作E2F⊥AC于点F，E2F＝AF＝FC＝AC＝，

∴E2(－，).

综上所述，当△ACE是直角三角形时，点E的坐标为(－3，1)或(－，).