Question

如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC．连接 DF、EG．

（1）求证：AB＝AC．

（2）已知 AB＝5，BC＝6．求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为.

【解析】

（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；

（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，由△AOD∽△ABN得，得到AD=r，再由△GBD∽△ABN得，列出方程即可解决问题．

（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，

∴AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，

∵四边形DFGE是矩形，

∴∠DFG＝90°，

∴DG是⊙O直径，

∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，

∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵OD＝OE．

∴AN平分∠BAC，∵AB＝AC，

∴AN⊥BC，BN＝BC＝3，

在Rt△ABN中，AN＝，

∵OD⊥AB，AN⊥BC，

∴∠ADO＝∠ANB＝90°，

∵∠OAD＝∠BAN，

∴△AOD∽△ABN，

∴，即，

∴AD＝r，

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣r，

∵OD⊥AB，

∴∠GDB＝∠ANB＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△GBD∽△ABN，

∴，即，

∴r＝，

∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为