Question

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S_阴影＝．其中正确的个数为（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

①易求得DF长度，即可判定；

②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；

③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；

④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题.

①∵AF是AB翻折而来，

∴AF=AB=6，

∵四边形ABCD是矩形，

AD=BC=3，

∴DF===3，

∴F是CD中点；

∴①正确；

②连接OP，

∵⊙O与AD相切于点P，

∴OP⊥AD，

∵AD⊥DC，

∴OP∥CD，

∴，

设OP=OF=x，则，

解得：x=2，

∴②正确；

③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，

∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，

∴∠EAF=∠EAB=30°，

∴AE=2EF；

∵∠AFE=90°，

∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，

∴EF=2EC，

∴AE=4CE，

∴③错误；

④连接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，

∴△OFG为等边三角形；同理△OPG为等边三角形；

∴∠POG=∠FOG=60°，OH=，S扇形OPG=S扇形OGF，

∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+（S扇形OGF-S△OFG）=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=．

∴④正确；

其中正确的结论有：①②④，3个；

故选：C．