Question

在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，P是AB上一点，连接PC，以PC为直径作⊙M交BC于D，连接PD，作DE⊥AC于点E，交PC于点G，已知PD＝PG，则BD＝_____.

Answer

【解析】

作AH⊥BC于H．首先证明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，推出PC=PG+CG=，在Rt△PCD中，根据PD2+CD2=PC2，构建方程即可解决问题.

如图，作AH⊥BC于H，

∵AB=AC=2，AH⊥BC，

∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH==4，

∵PC是直径，

∴∠PDC=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠CDP=∠CED=90°，

∵PD=PG，

∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，

∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，

∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，

∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，

∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，

则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，

∴PC=PG+CG=，

在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2，

∴4a2+（4-a）2=（）2，

解得a=或4（舍弃），

∴BD=．

故答案为：．