Question

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；

（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer

（1）55°；（2）证明见解析.

【解析】

(1)首先根据切线的性质判定∠BAP=90º，然后利用直角三角形两锐角互余求出∠ABP；

(2)连接OC、OD、AC，证出∠OCD=90º即可，由AB是直径，得到直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD，从而△OAD≌△OCD，得到结论.

（1）【解析】
∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，

∴AB⊥AP，

∴∠BAP=90°；

又∵∠P=35°，

∴∠ABP=90°﹣35°=55°．

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ACP=90°；

又∵D为AP的中点，

∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；

又∵AP是⊙O的切线，A是切点，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD=90°，

∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．

故答案为：（1）55°；（2）证明见解析.