Question

如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；

（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（Ⅰ）连接OD，OB，只要证明OD⊥EF即可；

（Ⅱ）根据已知结合圆内接四边形的性质得出∠A=60°，即可得出△OAB 等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．

（1）连接OD，OB，

∵D为的中点，

∴∠BOD＝∠COD，

∵OB＝OC，

∴OD⊥BC，

∴∠OGC＝90°，

∵EF∥BC，

∴∠ODF＝∠OGC＝90°，

即OD⊥EF，

∵OD是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BDC＝180°，

又∵∠BDC＝2∠A，

∴∠A+2∠A＝180°，

∴∠A＝60°，

∵OA＝OB，

∴△OAB 等边三角形，

∵OB＝AB＝2，

又∵∠BOC＝2∠A＝120°，

∴EC＝．