Question

如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．

（1）求证：∠OCF＝∠BCD；

（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O半径的长为．

【解析】

（1）利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠BCD=∠BFC，接着根据平行线的性质得∠OCF=∠BFC，从而得到∠OCF=∠BCD；

（2）用垂径定理得到CE=CD=2，再利用tan∠OCF=tan∠BCD=＝得到BE=1，设OC=OB=x，则OE=x-1，在Rt△OCE中利用勾股定理得到x2=（x-1）2+22，然后解方程即可．

（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，

∴，

∴∠BCD＝∠BFC，

∵BF∥OC，

∴∠OCF＝∠BFC，

∴∠OCF＝∠BCD；

（2）∵AB⊥CD，

∴CE＝CD＝2，

∵∠OCF＝∠BCD

∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝＝，

∵CE＝2

∴BE＝1，

设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，

在Rt△OCE中，∵x2＝（x﹣1）2+22，解得x＝，

即⊙O半径的长为．