Question

如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，以 OB 为半径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 的切线交 AC 于点 E，且 DE⊥AC．

(1)证明：AB＝AC；

(2)设 AB＝cm，BC＝2cm，当点 O 在 AB 上移动到使⊙O 与边 AC 所在直线相切时， 求⊙O 的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）首先证明OD∥AC，推出∠ODB=∠C，由OB=OD，推出∠B=∠ODB，即可证明∠B=∠C；

（2）设AC与⊙O相切于点F，连接OF，作AH⊥BC于H，设半径为r．解直角三角形求出AH，由tanC==2，推出EC=，推出AF=-r-=-r，在Rt△AOF中，根据OA2=AF2+OF2，构建方程即可解决问题.

（1）连接OD，

∵DE是⊙O的切线，

∵DE⊥OD，

∵AC⊥DE，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）设AC与⊙O相切于点F，连接OF，作AH⊥BC于H，设半径为r，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=1，

∴AH==2，

∴tan∠C==2，

∵∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°，

∴四边形ODEF是矩形，

∵OD=OF，

∴四边形ODEF是正方形，

∴EF=DE=r，

∵tanC==2，

∴EC=，

∴AF=﹣r﹣r=﹣r，

在Rt△AOF中，∵OA2=AF2+OF2，

∴（﹣r）2=r2+（﹣r）2，

解得r=．