Question

如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer

【解析】
（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，

∴可得A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：。

∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3。

（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3。

∴C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，

∴S△ABC=AC×OB=×4×3=6。

（3）存在。

易得抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意，

根据勾股定理，得。

分三种情况讨论：

①当AM=AB时，，解得：。

∴M1（﹣1，），M2（﹣1，）。

②当BM=AB时，，解得：M3=0，M4=﹣6。

∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）。

③当AM=BM时，，解得：m=﹣1。

∴M5（﹣1，﹣1）。

综上所述，共存在五个点使△ABM为等腰三角形，坐标为M1（﹣1，），M2（﹣1，），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）。

【解析】

试题（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式。

（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算。

（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①AM=AB，②BM=AB，③AM=BM，求出m的值后即可得出答案。