Question

如图，已知AB是⊙的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC、BC，且∠PCA=∠B．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=6，PA=4，求直径AB的长.

Answer

（1）详见解析；（2），AB=5.

【解析】

（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性质得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出结论；
（2）由切线定理得出，得出半径的长即可．

（1）如图所示：

∵AB是的直径，

∴∠ACB=90∘，

即∠1+∠2=90∘，

∵OB=OC，

∴∠2=∠B，

又∵∠PCA=∠B，

∴∠PCA=∠2，

∴∠1+∠PCA=90∘，

即PC⊥OC，

∴PC是O的切线；

(2)∵PC是O的切线，

∴∠PCO=90°

设半径为r则（r+4）2

，AB=5.