Question

如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.则下列结论:①AD上任意一点到点C,B的距离相等;②AD上任意一点到边AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中正确的个数为（    ）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

Answer

A

【解析】

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD上任意一点到点C和点B的距离相等，从而判断出①正确；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，从而判断出②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得③④正确．

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，

∴AD垂直平分BC，

∴AD上任意一点到点C和点B的距离相等，故①正确；

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故②正确；

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，

∴BD=CD=BC，AD⊥BC，故③正确；

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠BDE=∠CDF，故④正确；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个

故选A