Question

（本题满分10分）在ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是           ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是          ；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

Answer

（1）平行四边形（2）菱形（3）菱形（4）正方形

【解析】

试题（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的形状；

（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；

（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；

（4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；

可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．

试题解析：【解析】
（1）四边形EGFH是平行四边形．

证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O．

∴点O是ABCD的对称中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）菱形．

（3）菱形．

（4）四边形EGFH是正方形．

∵AC=BD，

∴ABCD是矩形．

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是菱形．

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．

∵EF⊥GH ，

∴∠GOF=90°．

∴∠BOG=∠COF．

∴△BOG≌△COF．

∴OG=OF，

∴GH=EF．

由（1）知四边形EGFH是平行四边形，

又∵EF⊥GH，EF=GH．

∴四边形EGFH是正方形．