Question

如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁，

第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂，

第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃……

第n次操作，分别作∠ABE_n－1和∠DCE_n－1的平分线，交点为E_n.

(1)如图①，求证：∠E＝∠B＋∠C；

(2)如图②，求证：∠E₁＝∠E；

(3)猜想：若∠E_n＝b°，求∠BEC的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BEC＝2nb°.

【解析】试题（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．

试题解析：（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴由（1）可得，

∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴由（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；

…

以此类推，∠En=∠BEC，

∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．