Question

已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，AD＝AE．

（1）如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝　   　°．

（2）如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝　   　°，∠CDE＝　   　°．

（3）设∠BAD＝α，∠CDE＝β猜想α，β之间的关系式，并说明理由．

Answer

（1）5（2）20，10（3）α＝2β，理由见解析.

【解析】

（1）先求出∠BAC=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠B，∠ADE，根据三角形外角的性质求出∠ADC，减去∠ADE，即可得出结论；

（2）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；

（3）利用等腰三角形的性质和三角形外角和定理即可得出结论．

（1）∵∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE＝40°，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°．

∵AD＝AE，∠DAE＝30°，

∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝75°．

∵∠B＝70°，∠BAD＝10°，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，

∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝5°．

故答案为5；

（2）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝60°，

∵AD＝AE，∠ADE＝70°，

∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，

∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°，

∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，

故答案为：20，10；

（3）猜想：α＝2β．理由如下：

设∠B＝x，∠AED＝y，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠C＝∠B＝x，∠ADE＝∠AED＝y．

∵∠AED＝∠CDE+∠C，

∴y＝β+x，

∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，

∴α+x＝y+β＝β+x+β，

∴α＝2β．