Question

探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等边三角形．

（1）如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为：　   　，线段AD与BE所成的锐角度数为　   　°；

（2）如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；

灵活运用：

如图3，某广场是一个四边形区域ABCD，现测得：AB＝60m，BC＝80m，且∠ABC＝30°，∠DAC＝∠DCA＝60°，试求水池两旁B、D两点之间的距离．

Answer

（1）AD=BE，60；（2）证明见解析；（3）水池两旁B、D两点之间的距离为100m．

【解析】

试题（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠BEC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE=∠DCE；（2）证明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD=BE，∠DAC=∠EBC，根据∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC，即可解答．（3）如图3，以AB为边在△ABC外侧作等边△ABE，连接CE，由（2）可得：BD=CE，证明△EBC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长度，即可解答．

试题解析：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

由三角形的外角性质，∠DPE=∠PEA+∠DAC，∠DCE=∠ADC+∠DAC，

∴∠DPE=∠DCE=60°；

故答案为：相等，60；

（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，

∴∠BPA=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°

（3）如图3，以AB为边在△ABC外侧作等边△ABE，连接CE．

由（2）可得：BD=CE

∴∠EBC=60°+30°=90°，

∴△EBC是直角三角形

∵EB=60m BC=80m，

∴CE==100（m）．

∴水池两旁B、D两点之间的距离为100m．