Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：

(1)求∠D及∠DBC；

(2)求tanD及tan∠DBC；

(3)请用类似的方法，求tan22.5°．

Answer

（1）∠D=15°，∠DBC=75°；（2）；（3）

【解析】

（1）利用外角性质得∠D=15°,∠DBC=75°；（2）设BC=1,根据30°角所对直角边等于斜边一半表示出直角边,利用正切值定义即可解题；（3）作出图形,根据外角性质和等腰直角三角形性质即可解题,见详解.

【解析】
(1) ∵AD=AB

∴ ∠D+∠DBA=30°（外角性质）

∴∠D＝15°，∠DBC＝15°+60°=75°；

(2)设BC=1 则AB=AD=2,（30°角所对直角边等于斜边一半）

∴AC= （勾股定理）

∴

,

(3)见下图, Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，延长CA至D点，使AD＝AB．

∴ ∠D+∠DBA=45°（外角性质）

∴∠D＝22.5°，

设BC=1,

∴AC=1,AB=,

∴