Question

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E.

(1)若CD=6,求AC的长;

(2)求证:AB-AC=CD.

Answer

（1）AC=BC=12+6；（2）见解析.

【解析】

（1）由∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，即可得CD=DE，又由在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，根据等腰三角形的性质，可求得AC=BC，∠B=45°，然后利用勾股定理，即可求得AC的长；

（2）首先证得AC=AE，又由（1）易得CD=DE=BE，然后利用线段的和差关系与等量代换的知识，即可求得AB-AC=CD．

（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=CD=6，

∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠EDB=∠B=45°，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD=12

∴AC=BC=CD+BD=12+6；

（2）∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠CAD=∠EAD，

∵∠C=90°，

∴AC⊥BC，

∵DE⊥AB，

∴∠ADC=∠ADE，

又∵AD=AD，

∴△ADC≌△ADE，

∴AE=AC，

∵CD=DE，DE=BE，

∴CD=BE，

∴AB-AC=AB-AE=BE=CD，

即：AB-AC=CD．