Question

如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF.

（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由.

Answer

（1）与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM，理由见解析；（2）∠OBC：∠OFC=；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

试题（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得求出∠ABC，再根据邻补角的定义求出∠BAM即可得解；

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根据角平分线的定义可得∠AOF=2∠AOB，从而得到比值不变；

（3）设∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根据角平分线的定义根据∠AOB+∠COE=∠AOC列出方程求解即可．

试题解析：（1）∵OM∥CN，

∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，

∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°，

又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°，

∴与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM；

（2）∵OM∥CN，

∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，

∵OB平分∠AOF，

∴∠AOF=2∠AOB，

∴∠OFC=2∠OBC，

∴∠OBC：∠OFC=；

（3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x，

在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x，

在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x，

∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，

∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°，

∴72°-x+72°-2x=36°，

解得x=36°，

即∠OBA=36°，

此时，∠OEC=2×36°=72°，

∠COE=72°-2×36°=0°，

点C、E重合，

所以，不存在．