Question

如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别为BE，BC，CE的中点．

(1)试说明四边形EGFH是平行四边形；

(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC，且EF＝BC，试说明平行四边形EGFH是正方形．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

通过中位线定理得出GF∥EH且GF＝EH，所以四边形EGFH是平行四边形；

当添加了条件EF⊥BC，且EF＝BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF＝GH）就可证明是正方形．

【解析】
(1)在△BEC中，

∵G，F分别是BE，BC的中点，

∴GF∥EC(即GF∥EH)且GF＝EC.

∵H为EC的中点，∴EH＝EC，

∴GF＝EH.

∴四边形EGFH是平行四边形．

(2)连接GH.∵G，H分别是BE，CE的中点，

∴GH∥BC且GH＝BC，

又∵EF⊥BC且EF＝BC，

∴EF⊥GH且EF＝GH.

∴平行四边形EGFH是正方形．