Question

如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°，其中正确结论有（　　）

A. 5个    B. 4个    C. 3个    D. 2个

Answer

B

【解析】

利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM＝∠CDN，再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得CM＝CN，DN＝AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据全等三角形对应边相等可得BN＝EM，根据三角形面积公式求出CQ＝CH，即可判断④，根据三角形外角性质推出∠APD＝60°．

∵△DAC和△EBC都是等边三角形，

∴∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝∠DCB＝120°，

在△ACE与△DCB中，

AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CB＝CE，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确；

∴∠CAM＝∠CDN，

在△ACM与△DCN中

∠CAM＝∠CDN，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，

∴△ACM≌△DCN(ASA)，

∴CM＝CN，故②正确；

DN＝AM，

在△AMC中，AC＞AM，

∴AC≠DN，故③错误；

过C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H，

∵△ACM≌△DCN，

∴△ACM和△DCN的面积相等，

∵DN＝AM，

∴由三角形面积公式得：CQ＝CH，

∴CP平分∠APB，∴④正确；

∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC＝∠DBC，

∵∠ECB＝60°，

∴∠EAC＋∠AEC＝∠ECB＝60°，

∴∠APD＝∠EAC＋∠ABP＝∠EAC＋∠AEC＝60°

∴⑤正确；

故选B.