Question

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）DF＝　   　；（用含t的代数式表示）

（2）求证：△AED≌△FDE；

（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；

（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值．）

Answer

（1）t；（2）证明见解析；（3）；（4） 或4.

【解析】

（1）由∠DFC＝90°，∠C＝30°，证出DF＝t；
（2）证明得DF∥AB，所以∠AED＝∠FDE，然后可得△AED≌△FDE；

（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB＝5，AD＝AC－DC＝10－2t，若△DEF为等边三角形，△EDA是等边三角形，得出AE＝AD，t＝10－2t，求出t＝；
（4）因为△AED≌△FDE，所以当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，然后分情况讨论即可求解.

【解析】
（1）∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°．

在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，

∴DF＝CD＝t．

故答案为：t．

（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，

∴DF∥AB，

∴∠AED＝∠FDE．

在△AED和△FDE中，AF＝FD＝t,∠AED＝∠FDE,DE＝DE，

∴△AED≌△FDE（SAS）．

（3）∵△AED≌△FDE，

∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．

∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，

∴AD＝AE．

∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，

∴t＝10﹣2t，

∴t＝，

∴当t为时，△DEF是等边三角形．

（4）∵△AED≌△FDE，

∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．

当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，

解得：t＝；

当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），

解得：t＝4．

综上所述：当t为或4时，△DEF为直角三角形．