Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求∠CAB的正切值；

（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）点P的坐标是（1，0）

【解析】

(1) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4,将点 (-3, 0) 代入求得a的值即可;

(2) 先求得A、 B、 C的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB,AC的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可;

(3) 连接BC,可证得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得代入个数据可得OP的值，可得P点坐标.

【解析】
（1）由题意得，抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴是直线，

∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，

∴抛物线的顶点C在x轴的上方，

由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣1，4）．

可设此抛物线的表达式是y＝a（x+1）2+4，

由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣1．

因此，抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如图1，

点B的坐标是（0，3）．连接BC．

∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，

得AB2+BC2＝AC2．

∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，

所以tan∠CAB=．

即∠CAB的正切值等于．

（3）如图2，连接BC，

∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠ABO＝45°，

∵∠CAO＝∠ABP，

∴∠CAB＝∠OBP，

∵∠ABC＝∠BOP＝90°，

∴△ACB∽△BPO，

∴，

∴，OP＝1，

∴点P的坐标是（1，0）．