Question

在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．

（1）依题意补全图1；

（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；

（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）

Answer

（1）见解析；（2）AH＝PH，∠AHP＝120°，理由见解析；（3）见解析

【解析】

(1)根据题意可补全图形;

(2)由平移的性质可得PQ=CD,由菱形的性质可得AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30，可得AD=PQ，∠HQD=∠HDQ=30,可证△ADH≌△PQH,可得AH=PH,∠AHD=∠PHE,即可求出∠AHP=120,

(3)根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可求∠DAP=21,通过解△DAP,可求DP的长度.

【解析】
（1）补全图形，如图所示

（2）AH＝PH，∠AHP＝120°．

理由如下：如图，由平移可知，PQ＝DC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴AD＝DC，∠ADB＝∠BDQ＝30°，

∴AD＝PQ，

∵HQ＝HD，

∴∠HQD＝∠HDQ＝30°，

∴∠ADB＝∠DQH，∠DHQ＝120°．

∵HQ＝DH，∠ADB＝∠DQH，AD＝PQ，

∴△ADH≌△PQH（SAS），

∴AH＝PH，∠AHD＝∠PHQ，

∴∠AHD+∠DHP＝∠PHQ+∠DHP，

∴∠AHP＝∠DHQ，

∵∠DHQ＝120°，

∴∠AHP＝120°．

（3）求解思路如下：

由∠AHQ＝141°，∠BHQ＝60°解得∠AHB＝81°，

a．在△ABH中，由∠AHB＝81°，∠ABD＝30°，解得∠BAH＝69°，

b．在△AHP中，由∠AHP＝120°，AH＝PH，解得∠PAH＝30°，

c．在△ADB中，由∠ADB＝∠ABD＝30°，解得∠BAD＝120°，

由a、b、c可得∠DAP＝21°，

在△DAP中，由∠ADP＝60°，∠DAP＝21°，AD＝1，可解△DAP，

从而求得DP长．