Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x²+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

见解析

【解析】

.【解析】
(1) 当y＝0时，∴A(－1, 0)

当x＝0时，∴ C(0,－3)

∴∴

抛物线的解析式是：

当y＝0时，

解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3, 0)

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：

设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）

∴ME="(x-3)-(" x2-2x-3)="-" x2+3x =

∴当时，ME的最大值＝

（3）答：不存在.

由（2）知 ME 取最大值时ME＝，E，M

∴MF＝，BF=OB-OF=.

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1或 P2

当P1时，由（1）知

∴P1不在抛物线上.

当P2时，由（1）知

∴P1不在抛物线上.

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.