Question

如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？

（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是.

【解析】试题本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、矩形的性质；熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的性质、并能进行推理论证是解决问题的关键．

（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OE=OF，再证出OB=OD，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出结论；

（3）由矩形的性质得出OA=OC=OE=OF，证出OB=OD，AC＜BD，得出四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．

试题解析：（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：

∵四边形AECF是平行四边形，

∴OA=OC，OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形； ]

（2）【解析】
理由如下：

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，

由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；

∴四边形ABCD是菱形；

（3）【解析】
四边形ABCD不是矩形；理由如下：

∵四边形AECF是矩形，

∴OA=OC，OE=OF，AC=EF，

∴OA=OC=OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴AC＜BD，

∴四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．