Question

如图，已知矩形OABC，点P在边OA上（不与端点重合），点Q在边CO上（不与端点重合）．

（1）如图（1），若∠BPQ＝90°，且△OPQ与△PAB和△QPB相似，请写出表示这三个三角形相似的式子，并探究此时线段OQ、QB、BA之间的数量关系．

（2）若∠PQB＝90°，且△OPQ与△PAB、△QPB都相似，如图（2），请重新写出表示这三个三角形相似的式子，并证明AB：OA＝2：3．

（3）在（1）中，若OA＝8，OC＝8，OP＝CQ．以矩形OABC的两边OA、OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图（3），若某抛物线顶点为P，点B在抛物线上．

①求此抛物线的解析式．

②过线段BP上一动点M（点M与点P、B不重合），作y轴的平行线交抛物线于点N，若记点M的横坐标为m，试求线段MN的长L与m之间的函数关系式，画出该函数的示意图，并指出m取何值时，L有最大值，最大值是多少？

Answer

(1) BQ＝OQ+AB;（2）见解析；（3）①y＝x2﹣2x+8；②当m取6时，L有最大值，且最大值为 2

【解析】

（1）要写成三个三角形相似的式子，需要先找出相等的对应角，首先由BC∥OA，确定∠CBP=∠BPA＞∠QBP，那么三个相似三角形的一组对应角应该是：∠QBP、∠QPO、∠ABP，显然能得出∠QBP=∠ABP、∠OQP=∠BQP，那么过P作BQ的垂线，根据角平分线定理即可判断出OQ、QB、BA三者之间的数量关系．

（2）同（1），先根据图示确定相似三角形的对应角，然后根据三个三角形的对应顶点写出三角形相似的式子；在△BQP、△BPA中，有公共边BP，可确定两者全等，那么BQ=AB，因此确定出∠CBQ的度数，即可确定AB、BC（OA）的比例关系，那么可以从△OQP、△CQB、△ABP这三个相似三角形入手．

（3）①首先结合（1）的解题过程，确定OP的长，进而得出点P的坐标，再利用待定系数法确定抛物线的解析式；

②首先利用待定系数法求出直线BP的解析式，然后根据直线BP、抛物线的解析式，用点M的横坐标表示出点M、N的纵坐标，两点纵坐标的差即为L的函数表达式，再根据函数的性质进行判断即可．

（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB＝90°，且∠APB+∠ABP＝90°，

∴∠OPQ＝∠ABP；

△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB＝∠CBP＞∠PBQ，

若两个三角形相似，则：∠PBQ＝∠ABP；

∴∠OPQ＝∠ABP＝∠PBQ

又∵∠O＝∠A＝∠QPB＝90°，

∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．

在△OPQ和△PBQ中，∠OQP＝∠PQB，过P作PD⊥BQ于D，则 OQ＝QD；

同理，可得：BD＝AB，

∴BQ＝QD+BD＝OQ+AB．

（2）同（1）可确定∠QBP＝∠ABP，由图知：∠QPO＝∠BPA

∴∠OQP＝∠ABP＝∠QBP，又∠BQP＝∠QOP＝∠BAP＝90°

∴△OPQ∽△APB∽△QPB．

由（1）的结论知：∠OQP＝∠QBC＝∠QBP＝∠ABP，且∠ABC＝90°，

∴∠QBC＝30°，则 BQ：CB＝2：＝2：3；

由△QPB∽△APB，且BP＝BP，所以△QPB≌△APB，得：AB＝BQ；

∴AB：BC＝2：3，即 AB：OA＝2：3．

（3）①由（1）的解答过程知：若△OPQ与△PAB和△QPB相似，则必须满足的条件是∠QPB＝90゜；

此时∠OQP＝∠BQP、∠QBP＝∠ABP，由（1）题图可知：OP＝AP＝PD；

∴OP＝AP＝OA＝4，即 P（4，0）；

设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2，代入点B（8，8），得：

a（8﹣4）2＝8，解得 a＝

∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2＝x2﹣2x+8．

②设直线BP的解析式为：y＝kx+b，代入B（8，8）、P（4，0），得：

，解得

∴直线BP：y＝x﹣8．

已知点M的横坐标为m，则 M（m， m﹣8）、N（m， m2﹣2m+8），则有：

MN的长：L＝m﹣8﹣（m2﹣2m+8）＝﹣m2+3m﹣16（4＜m＜8）（如右图）

配方，得：L＝﹣（m2﹣12m+72）+2＝﹣（m﹣6）2+2，

∴当m取6时，L有最大值，且最大值为 2．