Question

数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝，tanβ＝.求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2.

(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；

(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：

如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β.求出α－β的度数，并说明理由．

Answer

（1）45°；（2）45°.

【解析】

（1）①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB是等腰直角三角形．②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED=α+β=45°．（2）如图3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α-β，只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．

【解析】
(1)①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB是等腰直角三角形，∠BAC＝α＋β＝45°.

证明：如图1中，在△AMC和△CNB中，

∴△AMC≌△CNB，
∴AC=BC，∠ACM=∠CBN，
∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴α+β=45°．

②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α＋β＝45°.

证明：，设正方形边长为1，则CE=1，AE=2，BE=

∴＝＝， ＝

∴＝，

∵∠CEB=∠AEB
∴△CEB∽△BEA，
∴∠CAB=∠CBE=α，
∵∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β，
∵DE=DB，∠D=90°，
∠BED=45°，
∴α+β=45°．

(2)如图3中，补充图形如下，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β，只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．∠MON＝α－β＝45°.

证明：图3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α-β．
在△MFN和△NHO中，

∴△MFN≌△NHO，
∴MN=NO，∠MNF=∠NOH，
∵∠NOH+∠ONH=90°，
∴∠ONH+∠MNF=90°，
∴∠MNO=90°，
∴∠NOM=∠NMO=45°，
∴α-β=45°．