Question

正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．

（1）当0°＜α＜45°时，设AM交BC于点F，

①如图1，若α＝35°，则∠BCE＝　   　°；

②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；

（2）当45°＜α＜90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．

Answer

（1）①35；②AE＝CE+BE．证明见解析；（2）AE+CE＝BE．理由见解析.

【解析】

（1）①四边形ABCD是正方形通过角的关系求出∠AFB且CE⊥AM，即可求出∠BCE.

②过点B作BG⊥BE，交AM于点G，由①中四边形ABCD是正方形易得∠ABG＝∠CBE，再通过直角三角形内角和代换即可得到∠α＝∠BCE，易得△ABG≌△CBE（ASA），在通过勾股定理即可得出AE＋CE＝BE.

（2）过点B作BG⊥BE，交AM于点G，由（1）中得到∠ABG＝∠CBE，再通过直角三角形内角和代换即可得到∠DAH＝∠DCE，延长DA交BG于N，易得∠BAG＝∠BCE，即可得到△ABG≌△CBE（ASA），再通过勾股定理GE＝BE，等量代换即可得出AE，BE，CE之间的数量关系.

（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，

∵∠BAF＝35°，

∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，

∴∠CFE＝∠AFB＝55°，

∵CE⊥AM，

∴∠CEF＝90°，

∴∠ECF＝90°﹣∠CFE＝35°，

即：∠BCE＝35°，

故答案为：35；

②AE＝CE＋BE．

证明：如图2，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，

∴∠GBE＝∠GBC＋∠CBE＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABG＋∠GBC＝90°，

∴∠ABG＝∠CBE．

∵∠ABC＝90°，

∴∠α＋∠AFB＝90°，

∵∠CFE＝∠AFB，

∴∠α＋∠CFE＝90°，

∵∠CEF＝90°，

∴∠BCE＋∠CFE＝90°，

∴∠α＝∠BCE．

在△ABG和△CBE中，

∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠α＝∠BCE，

∴△ABG≌△CBE（ASA），

∴AG＝CE，BG＝BE．

∵在Rt△BEG中，BG＝BE，

∴GE＝BE，

∴AE＝AG＋GE＝CE＋BE．

（2）理由：如图3，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，

∴∠GBE＝∠GBA＋∠ABE＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°，

∴∠ABG＝∠CBE．

∵∠D＝90°，

∴∠DAH＋∠AHD＝90°，

∵∠AHD＝∠CHE，

∴∠DAH＋∠CHE＝90°，

∵∠CEA＝90°，

∴∠DCE＋∠CHE＝90°，

∴∠DAH＝∠DCE．

延长DA交BG于N，

∵∠NAG＝∠DAH，∴∠NAG＝∠DCE，

∴∠NAG＋90°＝∠DCE＋90°，

∴∠BAG＝∠BCE

在△ABG和△CBE中，

∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠BAG＝∠BCE，

∴△ABG≌△CBE（ASA），

∴AG＝CE，BG＝BE．

∵在Rt△BEG中，BG＝BE，

∴GE＝BE，

∴AE＝GE﹣AG＝BE﹣CE．

即：AE＋CE＝BE．