Question

下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

已知：△ABC．

求作：△ABC的边BC上的高AD．

作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，

交直线BC于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；

③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．

根据小芸设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵AM＝　   　，MP＝　   　，

∴AP是线段MN的垂直平分线．（　   　）（填推理的依据）

∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．

Answer

(1)作图见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用几何语言画出对应的几何图形；

（2）通过作图得到AM=AN，MP=NP，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AP是线段MN的垂直平分线，从而得到AD⊥BC．

（1）补全的图形如图所示；

（2）∵AM=AN，MP=NP，∴AP是线段MN的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．

故答案为：AN，NP，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．