Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+n（n＜0）与坐标轴交于A、B两点，与y＝（x＞0）交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且△OAB∽△FEB，相似比为．

（1）若n=-，求m的值；

（2）连接OE，试探究m与n的数量关系，并直接写出直线OE的解析式．

Answer

（1）m=3;（2）m＝12n2, y＝x

【解析】

（1）利用直线方程求得A、B两点坐标，利用相似三角形的相似比求得点E的坐标，由待定系数法求得m的值；

（2）由函数图象上点的坐标特征探究m与n的数量关系，待定系数求得直线OE的解析式．

（1）当n=-时，直线方程是y＝﹣，

当x＝0时，y＝﹣，即A（0，﹣），则OA＝，

当y＝0时，x＝1，即B（1，0），则OB＝1．

∵△OAB∽△FEB，相似比为，

∴EF＝2OA＝1，BF＝2OB＝2，

OF＝OB+BF＝1+2＝3，

∴点E的坐标为（3，1），

∵点E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴m＝3×1＝3；

（2）∵直线y＝+n（n＜0）与坐标轴交于A、B两点，

∴当x＝0时，y＝n，即A（0，n），则OA＝﹣n．

当y＝0时，x＝﹣2n，即B（﹣2n，0），则OB＝﹣2n，

∵△OAB∽△FEB，相似比为，

∴EF＝2OA＝﹣2n，BF＝2OB＝﹣4n，

OF＝OB+BF＝﹣6n，

∴点E的坐标为（﹣6n，﹣2n）．

∵点E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴m＝（﹣6n）•（﹣2n）＝12n2；

由点E的坐标为（﹣6n，﹣2n）得到直线OE的解析式为：y＝x．