Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，连接CE．

（1）如图①，当点D在线段BC上时：

①BC与CE的位置关系为　   　；

②BC、CD、CE之间的数量关系为　   　．

（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若不成立，请你写出正确结论，并给予证明．

（3）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　   　．

Answer

（1）①BC⊥CE；②BC＝CD+CE；（2）结论①成立，②不成立，结论：CD＝BC+CE；（3）CE＝BC+CD．

【解析】

(1)①利用条件求出△ABD≌△ACE，随之即可得出位置关系.

②根据BD＝CE，可得BC＝BD+CD＝CE+CD．

（2）根据第二问的条件得出△ABD≌△ACE，随之即可证明结论是否成立.

(3)分析新的位置关系得出△ABD≌△ACE，即可得出CE＝BC+CD.

（1）如图1．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，①∵∠ACE＝45°＝∠ACB，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE；

②∵BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD．

故答案为：BC⊥CE，BC＝CD+CE；

（2）结论①成立，②不成立，结论：CD＝BC+CE

理由：如图2中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE

∵∠ACB＝45°

∴∠DCE＝90°，∴CE⊥BC；

（3）如图3中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD

即∠BAD＝∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD．

故答案为：CE＝BC+CD．