Question

已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与直线y＝﹣x+m相交于第一象限内不同的两点A（4，n），B（1，4），

（1）求此抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存点P，使直线OP将线段AB平分？若存在直接求出P点坐标；若不存在说明理由．

Answer

（1）y=-x2+4x+1（2）存在点P1（，），P2（，）

【解析】

（1）根据待定系数法求出m、n的值，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式；

（2）根据平分线段AB求出AB的中点M，然后求出OM的解析式，构造方程组求解即可.

（1）∵点B（1,4）在y＝－x＋m上

∴4=-1+m

解得m=5

∴y＝－x＋5

∵A(4，n)在直线y＝－x＋5上

∴n=-4+5=1

即A为（4,1）

∴

解得

∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+1

（2）存在

由（1）知：AB的中点M为（，）

∴直线OM为y=x

因此可得

解得 或

即存在点P1（，），P2（，）.