Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．

Answer

（1）见解析；（2）2

【解析】

试题（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；

（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果。

（1）连接OB．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．

∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．

∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．

∴OB⊥PB．

又∵点B是⊙O上的一点，

∴PB是⊙O的切线．

（2）连接OP，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4．

∴PA=OP2-OA2=2

∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2。