Question

两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：

（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．

（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．

（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出 sinα的值．

Answer

（1）过点C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中 ∵∠A＝60°

∴sin60°＝∴……………1分

在Rt△ABC中 ∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2 …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中点 ∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜边中线 ∴CD=1……5分

同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF

∴四边形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE中

∴……………………………7分

过点D作DH⊥AE 垂足为H

则△ADH∽△AEB ∴

即∴ DH=……8分

在Rt△DHE中

sinα==…=…………………9分

【解析】

（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；

（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．