Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．

（1）求证：△ECF∽△GCE；

（2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠G＝∠ACG，再根据圆周角定理可得∠CEF＝∠ACG，即∠G＝∠CEF，然后根据三角形相似的判定即可得证；

（2）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∠OAE＝∠OEA，根据题意可得∠AFH+∠FAH＝90°，即∠GEF+∠AEO＝90°，然后切线的判定即可得证；

（3）如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r，在Rt△AHC中，利用三角形函数求得HC=4，在Rt△HOC中，利用勾股定理列出关于r的方程，求解方程得到r=，然后根据平行线的性质得到∠CAH＝∠M，进而证明△AHC∽△MEO，再利用相似三角形的性质求解即可.

（1）证明：如图1中，

∵AC∥EG，

∴∠G＝∠ACG，

∵AB⊥CD，

∴＝，

∴∠CEF＝∠ACG，

∴∠G＝∠CEF，

∵∠ECF＝∠ECG，

∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE，

∵GF＝GE，

∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵∠AFH+∠FAH＝90°，

∴∠GEF+∠AEO＝90°，

∴∠GEO＝90°，

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切线．

（3）【解析】
如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r，

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G═，

∵AH＝3，

∴HC＝4，

在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，

∴（r﹣3）2+42＝r2，

∴r＝

∵GM∥AC，

∴∠CAH＝∠M，

∵∠OEM＝∠AHC，

∴△AHC∽△MEO，

∴，

∴，

解得：.