Question

如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°．现给出以下四种结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③AE＝BE；④CE•AB＝2BD²．其中正确结论的序号是（　　）

A. ①②    B. ②③    C. ②④    D. ③④

Answer

C

【解析】

连接AD，根据圆周角定理可知∠ADB=90°，再由CD=CB可知AD是BC的垂直平分线，可知②正确；连接DE，BE，由圆内接四边形的性质可知∠CDE=∠CAB，故可得出△CDE∽△CAB，由此可判断出④正确．

连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵CD=BD，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴AC=AB，故②正确；

∵AC=AB，

∴∠ABC=∠C=70°，

∴∠BAC=40°，故①错误；

连接BE，DE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠BAC=40°，

∴∠ABE=50°，

∴∠BAC≠∠ABE，

∴AE≠BE，故③错误；

∵四边形ABDE是圆内接四边形，

∴∠CDE=∠CAB，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即，

∴CE•AB=2BD2，故④正确．

故选C．