Question

已知二次函数y＝x²+（m﹣1）x+3的图象过点（2，﹣1），

（1）求此二次函数的解析式；

（2）画出这个二次函数的图象；并确定y＞0时，x的取值范围？

（3）设此二次函数图象与x轴交点分别为A、B（A在B左侧）与y轴交点为C，求△ABC的面积．

Answer

（1）y＝x2﹣4x+3；（2），y＞0时，x的取值范围x＜1或x＞3；（3）3.

【解析】

（1）根据二次函数y=x2+（m-1）x+3的图象过点（2，-1），可以求得m的值，从而可以求得该函数的解析式；

（2）根据（1）中的函数解析式可以求得该函数与x轴的交点和该函数的顶点坐标，从而可以画出相应的函数图象，然后根据函数图象即可确定y＞0时，x的取值范围；

（3）根据（1）中的函数解析式可以得到点A、B、C的坐标，从而可以求得△ABC的面积．

（1）∵二次函数y＝x2+（m﹣1）x+3的图象过点（2，﹣1），

∴﹣1＝22+（m﹣1）×2+3，

解得，m＝﹣3，

∴此函数的二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1），

当y＝0时，0＝x2﹣4x+3，得x1＝1，x2＝3，

∴该函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），

这个二次函数的图象如图所示，

由图象可得，y＞0时，x的取值范围x＜1或x＞3；

（3）∵此二次函数图象与x轴交点分别为A、B（A在B左侧）与y轴交点为C，

∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0，3），

∴△ABC的面积是：＝3．