Question

如图，已知：二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上，

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．

Answer

（1）y＝x2+2x﹣3；（2）PA+PD的最小值是3；（3）（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，3）．

【解析】

（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0），点D（-2，-3），可以求得该函数的解析式；

（2）根据题意和轴对称-最短路线问题可以求得PA+PD的最小值；

（3）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以求得△ABC的面积，进而得到△ABM的面积，从而可以求得点M的坐标．

（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），点D（﹣2，﹣3），

∴，得，

即二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3，

∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，

当x＝1时，y＝0，

∴点B的坐标为（1，0），

连接BD交对称轴于点P，

∵PA＝PB，

∴PA+PD的最小值是线段BD的长，

∵点B（1，0），点D（﹣2，﹣3），

∴BD＝，

∴PA+PD的最小值是3；

（3）∵y＝x2+2x﹣3，

∴x＝0时，y＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

设点M的坐标为（a，a2+2a﹣3），

∵△ABM的面积等于△ABC的面积，点A（﹣3，0），点B（1，0），点C（0，﹣3），

△ABC的面积是：，

∴=6，

∴|a2+2a﹣3|＝3，

解得，a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+，a3＝﹣2，a4＝0（舍去），

∴点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，3）．